Analisi dimensionale
In Fisica è fondamentale conoscere le dimensioni di una qualsiasi grandezza. Nella meccanica classica è possibile derivare tutte le grandezze a partire da tre sole grandezze fondamentali: lunghezza L, massa M e tempo t.
Per capire le dimensioni di una grandezza derivata bisogna procedere con l'analisi dimensionale.
Per prima cosa bisogna conoscere la relazione matematica che esprime quella grandezza, dopo di che si scompone tale relazione finchè non si arriva ad una espressione con le sole tre grandezze fondamentali (contornate da coefficienti numeri).
Ignorando i coefficienti numerici e inserendo le grandezze fondamentali in delle parentesi quadre, si ottiene quella che si chiama equazione dimensionale.
Vediamo due esempi per fissare meglio questi concetti
Esempo svolto
Vogliamo calcolare le dimensioni di una velocità
Come vedremo in futuro, la velocità in un moto rettilineo uniforme è data dalla seguente formula $$ v=\frac{s}{t} $$ La famosa formula "spazio fratto tempo". Sia lo spazio che il tempo sono grandezze fondamentali, infatti lo spazio ha le dimensioni di una lunghezza e il tempo ha le dimensioni di un tempo. Dunque la formula è già scomposta.
Per trovare l'equazione dimensionale basterà sostituire le dimensioni delle grandezze che entrano in scena, in particolare $$ [v]=\frac{[L]}{[t]}=[L][t^{-1}] $$ E' preferibile non lasciare nulla al denominatore, ma utilizzare potenze con esponente negativo.
Abbiamo dunque scoperto che la velocità ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno 1.
Esempo svolto
Vogliamo calcolare le dimensioni di una accelerazione
Come vedremo in futuro, l'accelerazione rappresenta una variazione nel tempo della velocità $$ a=\frac{dv}{dt} $$ Tralasciando l'operatore di derivata, notiamo che in questo caso compare una grandezza che non è fondamentale, cioè la velocità. Dunque prima di procedere bisogna trovare le dimensioni della velocità.
$$ [v]=[L][t^{-1}] $$ Possiamo dunque concludere che $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ Abbiamo dunque scoperto che l'accelerazione ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno 2.
Warning
L'analisi dimensionale di una grandezza è indipendente dal sistema di unità di misura che viene scelto.
L'unità di misura cambia in base al sistema scelto, le dimensioni no. Rappresentano un qualcosa di più generale, più imponente!
Per capire le dimensioni di una grandezza derivata bisogna procedere con l'analisi dimensionale.
Per prima cosa bisogna conoscere la relazione matematica che esprime quella grandezza, dopo di che si scompone tale relazione finchè non si arriva ad una espressione con le sole tre grandezze fondamentali (contornate da coefficienti numeri).
Ignorando i coefficienti numerici e inserendo le grandezze fondamentali in delle parentesi quadre, si ottiene quella che si chiama equazione dimensionale.
Vediamo due esempi per fissare meglio questi concetti
Esempo svolto Vogliamo calcolare le dimensioni di una velocità
Come vedremo in futuro, la velocità in un moto rettilineo uniforme è data dalla seguente formula $$ v=\frac{s}{t} $$ La famosa formula "spazio fratto tempo". Sia lo spazio che il tempo sono grandezze fondamentali, infatti lo spazio ha le dimensioni di una lunghezza e il tempo ha le dimensioni di un tempo. Dunque la formula è già scomposta.
Per trovare l'equazione dimensionale basterà sostituire le dimensioni delle grandezze che entrano in scena, in particolare $$ [v]=\frac{[L]}{[t]}=[L][t^{-1}] $$ E' preferibile non lasciare nulla al denominatore, ma utilizzare potenze con esponente negativo.
Abbiamo dunque scoperto che la velocità ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno 1.
Esempo svolto Vogliamo calcolare le dimensioni di una accelerazione
Come vedremo in futuro, l'accelerazione rappresenta una variazione nel tempo della velocità $$ a=\frac{dv}{dt} $$ Tralasciando l'operatore di derivata, notiamo che in questo caso compare una grandezza che non è fondamentale, cioè la velocità. Dunque prima di procedere bisogna trovare le dimensioni della velocità.
$$ [v]=[L][t^{-1}] $$ Possiamo dunque concludere che $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ $$ [a]=\frac{[L][t^{-1}]}{[t]}=[L][t^{-2}] $$ Abbiamo dunque scoperto che l'accelerazione ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla meno 2.
Warning L'analisi dimensionale di una grandezza è indipendente dal sistema di unità di misura che viene scelto.
L'unità di misura cambia in base al sistema scelto, le dimensioni no. Rappresentano un qualcosa di più generale, più imponente!
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