Quadrato di binomio
Il quadrato di binomio è probabilmente il prodotto notevole più famoso e frequente. Dal nome si intuisce che eleveremo al quadrato un binomio.
Supponiamo di voler calcolare la seguente espressione $$ (a+b)^2 $$ Calcolare il quadrato di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa, quindi $$ (a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b) $$ Non ci resta che svolgere il prodotto tra questi due polinomi e sommare infine i monomi simili $$ (a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a+b) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+ab+ba+b^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+2ab+b^2 $$
Quadrato di binomio
Il quadrato di binomio si calcola facendo la somma tra il quadrato del primo monomio, il doppio prodotto tra i due monomi e il quadrato del secondo monomio $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Esempi svolti
Warning
I termini \(a\) e \(b\) che compaiono nella formula vanno presi con il loro segno. Quando eleviamo al quadrato i due termini bisogna elevare al quadrato anche l'eventuale segno meno di uno o di entrambi i termini.
Supponiamo di voler calcolare la seguente espressione $$ (a+b)^2 $$ Calcolare il quadrato di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa, quindi $$ (a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b) $$ Non ci resta che svolgere il prodotto tra questi due polinomi e sommare infine i monomi simili $$ (a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a+b) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+ab+ba+b^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+2ab+b^2 $$
Quadrato di binomio Il quadrato di binomio si calcola facendo la somma tra il quadrato del primo monomio, il doppio prodotto tra i due monomi e il quadrato del secondo monomio $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Esempi svolti - \( (2x-y)^2 \) Ovviamente anche se uno dei due termini è negativo, o entrambi sono negativi, la formula si può applicare ugualmente. Il risultato sarà $$ (2x)^2+2\cdot(2x)\cdot(-y)+(-y)^2=4x^2-4xy+y^2 $$ $$ (2x)^2+2\cdot(2x)\cdot(-y)+(-y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 4x^2-4xy+y^2 $$ $$ (2x)^2+2(2x)(-y)+(-y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ x^2-4xy+y^2 $$
- \( (-3a-c^2)^2 \) Utilizziamo direttamente la formula $$ (-3a)^2+2\cdot(-3a)\cdot(-c^2)+(-c^2)^2=9a^2+6ac^2+c^4 $$ $$ (-3a)^2+2\cdot(-3a)\cdot(-c^2)+(-c^2)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 9a^2+6ac^2+c^4 $$ $$ (-3a)^2+2(-3a)(-c^2)+(-c^2)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$9a^2+6ac^2+c^4 $$
Warning I termini \(a\) e \(b\) che compaiono nella formula vanno presi con il loro segno. Quando eleviamo al quadrato i due termini bisogna elevare al quadrato anche l'eventuale segno meno di uno o di entrambi i termini.
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