Teoria degli insiemi
Quando ci troviamo difronte a degli oggetti collegati tra di loro in qualche modo, parliamo di insieme. In sostanza negli insiemi abbiamo una sorta di "caratteristica" comune che ci permette di capire se un elemento può giacere al suo interno. Ad esempio un insieme di numeri naturali non è nient'altro che un raggruppamento di oggetti che rappresentano proprio i numeri naturali. Al suo interno non è possibile trovare ad esempio delle lettere, proprio per come è definito l'insieme.
Gli insiemi in genere vengono indicati con delle lettere maiuscole ad esempio A,B, C e graficamente rappresentano una regione di piano racchiusa da una linea chiusa
Per indicare un generico elemento dell'insieme A utilizziamo la stessa lettera però in minuscolo $$ a\in A $$ Con questa scrittura intendiamo dire che l'elemento \(a\) appartiene (\(\in\)) all'insieme \(A\). Graficamente possiamo indicare gli elementi dell'insieme tramite dei "puntini" nella regione di spazio
Per indicare che un certo elemento \(a\) non appartiene (\(\notin\)) all'insieme \(A\) utilizziamo la seguente scrittura $$ a\notin A $$ Un insieme che non contiene alcun elemento si dirà insieme vuoto e si indica con il seguente simbolo $$ \not0 $$ Ad esempio l'insieme dei ragazzi con 4 teste è un insieme vuoto in quanto non esistono ragazzi che hanno questa caratteristica. Oppure l'insieme formato da triangoli con 5 lati, anche in questo caso non ci sono elementi in tale insieme perchè tutti sanno che i triangoli hanno solo 3 lati.
Consideriamo l'insieme formato da tutti gli esseri umani e consideriamo anche l'insieme formato da tutti gli uomini. Capite che nell'insieme degli esseri umani è presente l'insieme degli uomini, in quanto tutti gli uomini sono anche esseri umani. Matematicamente si dice che l'insieme degli uomini è contenuto (\(\subseteq\)) nell'insieme degli esseri umani.
Più in generale, possiamo utilizzare la seguente scrittura per indicare che l'insieme \(A\) è contenuto nell'insieme \(B\) $$ A\subseteq B $$ Graficamente si indica nel seguente modo
Intuitivamente se \(A\) è contenuto in \(B\) allora ogni elementi di \(A\) appartiene anche a \(B\). Matematicamente $$ \forall a\in A \Rightarrow a\in B $$ Si dice che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\).
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di intersezione, indicata con \(A\cap B\) e si legge A intersezione B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano sia in \(A\) sia in \(B\). Matematicamente $$ A\cap B=\{x\in A\land x\in B\} $$ Graficamente
L'operazione di intersezione gode delle seguenti proprietà:
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di unione, indicata con \(A\cup B\) e si legge A unione B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano sia in \(A\), in \(B\) o in entrambi, in sostanza vengono presi tutti gli elementi. Matematicamente $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ Graficamente
L'operazione di unione gode delle seguenti proprietà:
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di differenza, indicata con \(A\setminus B\) e si legge A meno B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano in \(A\) ma che non si trovano in \(B\). Matematicamente $$ A\setminus B=\{x\in A \land x\notin B\} $$ Graficamente
Notiamo subito che facendo \(B\setminus A\) abbiamo tutti gli elementi di \(B\) che non si trovano in \(A\), dunque si vede ad occhio che in questa operazione la proprietà commutativa non vale.
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di prodotto cartesiano, indicata con \(A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B\) e si legge A prodotto cartesiano B, che rappresenta coppie di valori dove il primo sta in \(A\) e il secondo sta in \(B\). Matematicamente $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$ $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$ $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$
Qui di seguito verrà citata direttamente la formula finale, in quanto oggetto di altri corsi presenti sul sito $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$
$$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$
Gli insiemi in genere vengono indicati con delle lettere maiuscole ad esempio A,B, C e graficamente rappresentano una regione di piano racchiusa da una linea chiusa
Per indicare un generico elemento dell'insieme A utilizziamo la stessa lettera però in minuscolo $$ a\in A $$ Con questa scrittura intendiamo dire che l'elemento \(a\) appartiene (\(\in\)) all'insieme \(A\). Graficamente possiamo indicare gli elementi dell'insieme tramite dei "puntini" nella regione di spazio
Per indicare che un certo elemento \(a\) non appartiene (\(\notin\)) all'insieme \(A\) utilizziamo la seguente scrittura $$ a\notin A $$ Un insieme che non contiene alcun elemento si dirà insieme vuoto e si indica con il seguente simbolo $$ \not0 $$ Ad esempio l'insieme dei ragazzi con 4 teste è un insieme vuoto in quanto non esistono ragazzi che hanno questa caratteristica. Oppure l'insieme formato da triangoli con 5 lati, anche in questo caso non ci sono elementi in tale insieme perchè tutti sanno che i triangoli hanno solo 3 lati.
Consideriamo l'insieme formato da tutti gli esseri umani e consideriamo anche l'insieme formato da tutti gli uomini. Capite che nell'insieme degli esseri umani è presente l'insieme degli uomini, in quanto tutti gli uomini sono anche esseri umani. Matematicamente si dice che l'insieme degli uomini è contenuto (\(\subseteq\)) nell'insieme degli esseri umani.
Più in generale, possiamo utilizzare la seguente scrittura per indicare che l'insieme \(A\) è contenuto nell'insieme \(B\) $$ A\subseteq B $$ Graficamente si indica nel seguente modo
Intuitivamente se \(A\) è contenuto in \(B\) allora ogni elementi di \(A\) appartiene anche a \(B\). Matematicamente $$ \forall a\in A \Rightarrow a\in B $$ Si dice che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\).
Intersezione
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di intersezione, indicata con \(A\cap B\) e si legge A intersezione B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano sia in \(A\) sia in \(B\). Matematicamente $$ A\cap B=\{x\in A\land x\in B\} $$ Graficamente
Proprietà intersezione
L'operazione di intersezione gode delle seguenti proprietà:
- \(A\hspace{2mm}\cap\not 0=\not0\rightarrow\) Proprietà insieme vuoto
- \(A\cap B=B\cap A\rightarrow\) Proprietà commutativa
- \(A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\rightarrow\) Proprietà associativa
- \(A\cap A =A\rightarrow\) Proprietà di idempotenza
- \(B\subseteq A \Rightarrow B\cap A=B\)
Unione
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di unione, indicata con \(A\cup B\) e si legge A unione B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano sia in \(A\), in \(B\) o in entrambi, in sostanza vengono presi tutti gli elementi. Matematicamente $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ $$ A\cup B=\{x\in A \hspace{3mm}oppure\hspace{3mm} x\in B\} $$ Graficamente
Proprietà unione
L'operazione di unione gode delle seguenti proprietà:
- \(A\hspace{2mm}\cup\not 0=A\rightarrow\) Proprietà insieme vuoto
- \(A\cup B=B\cup A\rightarrow\) Proprietà commutativa
- \(A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\rightarrow\) Proprietà associativa
- \(A\cup A =A\rightarrow\) Proprietà di idempotenza
- \(B\subseteq A \Rightarrow A\cup B=A\)
Differenza
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di differenza, indicata con \(A\setminus B\) e si legge A meno B, che rappresenta un ulteriore insieme formato da tutti gli elementi che si trovano in \(A\) ma che non si trovano in \(B\). Matematicamente $$ A\setminus B=\{x\in A \land x\notin B\} $$ Graficamente
Notiamo subito che facendo \(B\setminus A\) abbiamo tutti gli elementi di \(B\) che non si trovano in \(A\), dunque si vede ad occhio che in questa operazione la proprietà commutativa non vale.
Prodotto cartesiano
Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo l'operazione di prodotto cartesiano, indicata con \(A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B\) e si legge A prodotto cartesiano B, che rappresenta coppie di valori dove il primo sta in \(A\) e il secondo sta in \(B\). Matematicamente $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$ $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$ $$ A\hspace{0.5mm}X\hspace{0.5mm} B=\{(a,b)| a\in A \land b\in B\} $$
Prima legge di De Morgan
Qui di seguito verrà citata direttamente la formula finale, in quanto oggetto di altri corsi presenti sul sito $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C) $$
Seconda legge di De Morgan
$$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$ $$ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $$
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