Il Paradosso del compleanno
probability paradox
Il paradosso del compleanno è un famoso paradosso legato alla teoria della probabilità, proposto nel 1939 da un matematico. Il quesito è il seguente:
Quant'è la probabilità che almeno due persone in un gruppo siano nate lo stesso giorno? In particolare quante persone sono necessarie per avere una probabilità del 50%?
In un anno non bisestile (per semplicità consideriamo prima questo caso), i possibili compleanni sono 365, uno per ogni giorno. Dunque l’intuito ci suggerisce che ,per avere una probabilità del 50% di trovare almeno due persone nate lo stesso giorno, serva un gruppo abbastanza numeroso. E invece no! E' sufficiente avere 23 persone per una probabilità del 50,7%. Con 30 persone la probabilità supera addirittura il 70%. Con 50 abbiamo il 97%.
Per avere la certezza assoluta, cioè 100% di probabilità, sono necessarie almeno 366 persone. Infatti visto che i giorni sono 365, le prime 365 persone possono occupare un giorno diverso da ognuno, ma la 366 esima persona occuperà necessariamente un giorno in comune con un altro del gruppo. Questi numeri Sembrano assurdi vero?
Bisogna ragionare con le coppie, visto che il confronto dei compleanni viene effettuato tra due persone. Consideriamo ad esempio 3 persone A, B e C. Quante coppie ci sono? Ogni persona dovrà fare il confronto con tutte le altre. Dunque avremo le 3 coppie
Abbiamo capito che più o meno che non sono numeri randomici, ma hanno una loro logica. Ovviamente questa considerazione non può bastare, deve essere seguita da calcoli numerici precisi.
Il modo più semplice per calcolare la probabilità di trovare almeno due persone con lo stesso compleanno è quello di calcolare la probabilità di non trovarne. Questo perche tale probabilità rappresenta il complementare di quella che vogliamo trovare. Vediamo concretamente con un esempio. Prendiamo un gruppo di 3 persone, A B e C.
La persona A compirà gli anni un giorno qualsiasi dell’anno, tra i 365 disponibili.
La persona B, per avere un compleanno diverso da A, avrà a disposizione 364 giorni su 365, escludendo il giorno di nascita di A. Dunque la probabilità che B risulti con compleanno diverso da A è $$ P(B\neq A)=\frac{364}{365} $$ Facciamo lo stesso ragionamento per C.
La persona C dovrà avere un compleanno diverso da quello di A e da quello di B, dunque dai 365 giorni togliamo il giorno di A e il giorno di B. La probabilità che C risulti con un compleanno diverso da A e B è P(C\neq A\neq B)=\frac{363}{365} Per ottenere la probabilità che A B e C siano nati in giorni diversi tra loro, è necessario moltiplicare le due probabilità (questa cosa si può fare perchè i due eventi sono indipendenti, la data di nascita di una persona non dipende dalla data di nascita di un'altra) $$ P(compl\hspace{2mm} diversi)=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365} $$ A cosa ci serve questo risultato? E' sufficiente calcolare il suo complementare, in modo da trovare la probabilità che esistano almeno due compleanni uguali $$ P( 2\hspace{2mm} uguali)=1-\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}$$ In percentuali è lo 0.82% di probabilità. Ovviamente bassissima.
E' possibile generalizzare la formula per un numero P qualsiasi di persone. Seguendo lo stesso procedimento possiamo scrivere la formula finale $$ P=1-\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \cdot \cdot \frac{365-P+1}{365} $$ Per semplicità questa formula può essere scritta nel seguente modo $$ P=1-\frac{364!}{365^{P-1}\cdot (365-P)!} $$ Tranquilli, sembra complessa ma non lo è. Il termine \(\frac{364!}{(365-P)!}\) rappresenta una sorta di fattoriale smorzato, cioè un fattoriale dove non vengono prese tutte le cifre ma dal (365-P)! vengono eliminati.
Mi raccomando utilizzate questo paradosso nelle feste, farete sicuramente una buona figura!
Quant'è la probabilità che almeno due persone in un gruppo siano nate lo stesso giorno? In particolare quante persone sono necessarie per avere una probabilità del 50%?
In un anno non bisestile (per semplicità consideriamo prima questo caso), i possibili compleanni sono 365, uno per ogni giorno. Dunque l’intuito ci suggerisce che ,per avere una probabilità del 50% di trovare almeno due persone nate lo stesso giorno, serva un gruppo abbastanza numeroso. E invece no! E' sufficiente avere 23 persone per una probabilità del 50,7%. Con 30 persone la probabilità supera addirittura il 70%. Con 50 abbiamo il 97%.
Per avere la certezza assoluta, cioè 100% di probabilità, sono necessarie almeno 366 persone. Infatti visto che i giorni sono 365, le prime 365 persone possono occupare un giorno diverso da ognuno, ma la 366 esima persona occuperà necessariamente un giorno in comune con un altro del gruppo. Questi numeri Sembrano assurdi vero?
Bisogna ragionare con le coppie, visto che il confronto dei compleanni viene effettuato tra due persone. Consideriamo ad esempio 3 persone A, B e C. Quante coppie ci sono? Ogni persona dovrà fare il confronto con tutte le altre. Dunque avremo le 3 coppie
- (A,B);
- (A,C);
- (B,C);
Calcoli matematici
Abbiamo capito che più o meno che non sono numeri randomici, ma hanno una loro logica. Ovviamente questa considerazione non può bastare, deve essere seguita da calcoli numerici precisi.
Il modo più semplice per calcolare la probabilità di trovare almeno due persone con lo stesso compleanno è quello di calcolare la probabilità di non trovarne. Questo perche tale probabilità rappresenta il complementare di quella che vogliamo trovare. Vediamo concretamente con un esempio. Prendiamo un gruppo di 3 persone, A B e C.
La persona A compirà gli anni un giorno qualsiasi dell’anno, tra i 365 disponibili.
La persona B, per avere un compleanno diverso da A, avrà a disposizione 364 giorni su 365, escludendo il giorno di nascita di A. Dunque la probabilità che B risulti con compleanno diverso da A è $$ P(B\neq A)=\frac{364}{365} $$ Facciamo lo stesso ragionamento per C.
La persona C dovrà avere un compleanno diverso da quello di A e da quello di B, dunque dai 365 giorni togliamo il giorno di A e il giorno di B. La probabilità che C risulti con un compleanno diverso da A e B è P(C\neq A\neq B)=\frac{363}{365} Per ottenere la probabilità che A B e C siano nati in giorni diversi tra loro, è necessario moltiplicare le due probabilità (questa cosa si può fare perchè i due eventi sono indipendenti, la data di nascita di una persona non dipende dalla data di nascita di un'altra) $$ P(compl\hspace{2mm} diversi)=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365} $$ A cosa ci serve questo risultato? E' sufficiente calcolare il suo complementare, in modo da trovare la probabilità che esistano almeno due compleanni uguali $$ P( 2\hspace{2mm} uguali)=1-\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}$$ In percentuali è lo 0.82% di probabilità. Ovviamente bassissima.
E' possibile generalizzare la formula per un numero P qualsiasi di persone. Seguendo lo stesso procedimento possiamo scrivere la formula finale $$ P=1-\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \cdot \cdot \frac{365-P+1}{365} $$ Per semplicità questa formula può essere scritta nel seguente modo $$ P=1-\frac{364!}{365^{P-1}\cdot (365-P)!} $$ Tranquilli, sembra complessa ma non lo è. Il termine \(\frac{364!}{(365-P)!}\) rappresenta una sorta di fattoriale smorzato, cioè un fattoriale dove non vengono prese tutte le cifre ma dal (365-P)! vengono eliminati.
Mi raccomando utilizzate questo paradosso nelle feste, farete sicuramente una buona figura!
Playlist sui paradossi
Come ulteriore supporto a quanto appena letto, ho preparato una playlist di paradossi su misura per te sull'argomento.
Vuoi far conoscere questa playlist ad altre persone? Vuoi chiedermi dei chiarimenti in merito ad alcuni aspetti dei video? Niente di più semplice: commenta , condividi e metti un bel mi piace, in questo modo non solo avrete approfondimenti da parte mia ma contribuirete al miglioramento del canale, cosi da offrire un servizio di maggiore qualità.
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Paradossi spiegati nel dettaglio
Come ulteriore supporto a quanto appena letto e visto, ho preparato un eBook su misura per te sull'argomento.
Questo eBook è una breve raccolta di vari paradossi, spiegati nei minimi particolari. Si affrontano vari paradossi della probabilità, della logica e della fisica. Molto utile per allenare la mente e il pensiero "fuori dagli schemi".
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