Il paradosso del Grand Hotel è un famoso paradosso inventato dal matematico David Hilbert per mettere in risalto alcune caratteristiche dell'infinito.
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di ospiti futuri, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero fosse infinito.
Hilbert era in grado, secondo il suo ragionamento, di sistemare sempre ospiti nel suo hotel. Vediamo alcuni esempi per capire come. Abbiamo infinite stanze tutte occupate. Arriva un viaggiatore, il quale vorrebbe alloggiare nell'hotel. Hilbert in questo caso chiede a tutti gli ospiti già presenti di spostarsi di una stanza avanti.
In sostanza chi è nella stanza 1 passa alla stanza 2, chi è nella stanza 2 passa alla stanza 3, chi è nella stanza n passa alla stanza n+1. In questo modo si sarà liberata la stanza numeri 1, dove verrà sistemato il nuovo ospite. Finchè arriva un numero finito di ospiti risulterà sempre possibile sistemare tutti
E se arrivassero k persone nuove? Semplice, basterà far spostare tutti quelli già presenti di k stanze in avanti, in questo modo le prime k stanze saranno libere.
Cosa succede se invece i nuovi ospiti sono infiniti? Anche in questo caso Hilbert ha trovato una soluzione. Un metodo efficiente suggerito da Hilbert considera la possibilità di spostare ogni ospite dalla sua camera a quella con un numero doppio rispetto a quella attuale. Se l'ospite si trova nella stanza 1 passerà alla 2, se si trova nella stanza 2 passerà alla 4 e cosi via. In questo modo si liberano per i nuovi ospiti tutte le camere con numero dispari. Il numero di tutte le camere dispari è ovviamente infinito, risolvendo dunque il problema, si sono infatti liberate infinite stanze per infiniti ospiti nuovi

Come mai questo problema rappresenta un paradosso? Pur non presentando una contraddizione logica, quanto appena visto mette in luce un risultato controintuitivo che però si dimostra essere vero. Le dichiarazioni "c'è un ospite per ogni stanza" e "non vi è posto per altri ospiti" non sono equivalenti quando le stanze sono infinite.