Abbiamo visto che l' accelerazione istantanea può essere scritta come \(\frac{d\vec{v}}{dt}\). Il vettore velocità può essere scritto mediante le sue componenti $$ \vec{v}(t)=v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k} $$ $$ \vec{v}(t)=v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k} $$ $$ \vec{v}(t)=v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k} $$ Per trovare la accelerazione bisogna farne la derivata $$ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k}) $$ $$ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k}) $$ $$ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(v_x(t)\widehat{i}+v_y(t)\widehat{j}+v_z(t)\widehat{k}) $$ La derivata è un operatore lineare dunque è possibile fare la somma delle derivate singole $$ \vec{a}=\frac{dv_x(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dv_y(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dv_z(t)\widehat{k}}{dt} $$ $$ \vec{a}=\frac{dv_x(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dv_y(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dv_z(t)\widehat{k}}{dt} $$ $$ \vec{a}=\frac{dv_x(t)\widehat{i}}{dt}+\frac{dv_y(t)\widehat{j}}{dt}+\frac{dv_z(t)\widehat{k}}{dt} $$ Quando deriviamo \(v_x(t)\widehat{i}\) il versore \(\widehat{i}\) rimane costante nel tempo dunque non va derivato $$ \frac{dv_x(t)\widehat{i}}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\widehat{i} $$ Stesso discorso vale per le altre due derivate, dunque $$ \vec{a}=\frac{dv_x}{dt}\widehat{i}+\frac{dv_y}{dt}\widehat{j}+\frac{dv_z}{dt}\widehat{k} $$ $$ \vec{a}=\frac{dv_x}{dt}\widehat{i}+\frac{dv_y}{dt}\widehat{j}+\frac{dv_z}{dt}\widehat{k} $$ $$ \vec{a}=\frac{dv_x}{dt}\widehat{i}+\frac{dv_y}{dt}\widehat{j}+\frac{dv_z}{dt}\widehat{k} $$ Ogni vettore può essere scomposto lungo gli assi cartesiani $$ \vec{a}=a_x\widehat{i}+a_y\widehat{j}+a_z\widehat{k} $$ La scomposizione di un vettore è unica e visto che abbiamo scomposto lo stesso vettore in due modi diversi, le componenti devono essere necessariamente le stesse $$ \left\{\begin{matrix} a_x=\frac{dv_x}{dt} \\ a_y=\frac{dv_y}{dt} \\ a_z=\frac{dv_z}{dt} \end{matrix}\right. $$