Abbiamo visto che l' accelerazione media è una grandezza non appropriata per avere una visione dettagliata della accelerazione assunta da un corpo durante il suo percorso. Se però riduciamo l'intervallo temporale \(\Delta t\) sempre di più, ad un certo punto si parlerà di accelerazione istantanea
Quando \(\Delta t\) tende a zero i due istanti temporali tendono a concidere e il punto \(P_2\) tende ad avvicinarsi al punto \(P_1\). Riusciamo dunque, con una operazione di limite, a prendere una accelerazione in un certo istante $$ \vec{a}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} $$ $$ \vec{a}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt} $$ $$ \vec{a}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt} $$ $$ \vec{a}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt} $$ Sono gli stessi ragionamenti visti nella velocità istantanea. Abbiamo scoperto che l' accelerazione è la derivata temporale del vettore velocità \vec{v}.
Visto che la velocità è la derivata temporale del vettore posizione, l'accelerazione risulterà essere la derivata seconda del vettore posizione $$ \vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} $$ In generale l'accelerazione è un vettore, dunque ha una sua direzione e un suo verso che specificheremo più in avanti, quando parleremo di moti in più dimensioni.