In questo capitolo vedremo tutto quello che è necessario conoscere per quanto riguarda la trigonometria, che è quella parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli.
Rappresentiamo gli angoli nella circonferenza trigonometria di raggio \(r\) pari a \(1\)
Un angolo misurato in radianti è un numero puro, un rapporto di lunghezze. Più nello specifico è il rapporto tra l'arco \(AP\) e il raggio della circonferenza \(r\) $$ \alpha=\frac{AP}{r} $$ Sulla circonferenza il punto \(P\) rappresenta l'angolo \(0\) e per convenzione il verso antiorario è quello positivo
Dalla figura possiamo notare varie cose. L'angolo di \(90^\circ\) è in radianti \(\frac{\pi}{2}\), \(180^\circ\) è in radianti \(\pi\) e cosi via. Se sulla circonferenza individuiamo un punto \(A\) da un angolo \(\alpha\), possiamo individuare anche gli angoli congruenti che hanno le stesse proprietà di \(\alpha\) aggiungendo un tot numero di angoli giro $$ \alpha+2k\pi $$
Consideriamo la proiezione di \(A\) sull'asse delle x e sull'asse delle y
Definiamo la misura del segmento con segno \(OB\) come la funzione trigonometrica del coseno dell'angolo \(\alpha\) $$ cos\alpha=OB $$ Definiamo la misura del segmento con segno \(BA\) come la funzione trigonometrica del seno dell'angolo \(\alpha\) $$ sen\alpha=BA $$ Il triangolo \(OBA\) è un triangolo rettangolo, dunque si può applicare su di esso il teorema di pitagora, che dà origine ad una relazione fondamentale della trigonometria $$ sen^2\alpha+cos^2\alpha=1 $$ Consideriamo la retta tangente alla circonferenza in \(P\)
La tangente di \(\alpha\) è la coordinata \(y\) del punto \(A'\), che rappresenta l'intersezione tra la semiretta che parte dall'origine del cerchio e passa dal punto \(A\), che ha l'angolo \(\alpha\), e la retta \(x=1\). In sostanza è la lunghezza del segmento \(A'P\). I triangoli rettangoli \(OAB\) e \(OA'P\) sono simili, dunque i due cateti \(OB\) e \(BA\) sono proporzionali ai due cateti \(OP\) e \(A'P\), con lo stesso rapporto, cioè $$ \frac{BA}{OB}=\frac{A'P}{OP} $$ Per le definizioni date prima di seno e coseno possiamo scrivere dunque $$ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{tan\alpha}{r} $$ Considerando che il raggio \(r\) è pari a 1, possiamo concludere che $$ tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} $$ Il valore della tangente si trova graficamente sfruttando la sua definizione, bisogna sempre cercare l'intersezione con la retta \(x=1\).
Ad esempio quando \(\alpha\) è 0, l'intersezione coincide proprio con 0. Se \(\alpha=\frac{\pi}{2}\) oppure \(\frac{3}{4}\pi\) le due rette non si intersecano mai perchè sono parallele, dunque la tangente non è definita.
La tangente è definita quando $$ \alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi $$ Vediamo infine la tabella dei valori più frequenti per le funzioni trigonometriche