è una disequazione dove l'incognita compare anche in un modulo. Il ragionamento per risolvere questo tipo di disequazioni è molto simile a quello che abbiamo visto nelle
. L'unica cosa che cambia è che bisogna, nei vari casi, effettuare una
e una unione finale con tutte le soluzioni. Per capire come procedere in questo caso, è conveniente discutere un esempio concreto, per poi schematizzare il procedimento.
Esempio
Risolvere la seguente disequazione con un modulo
\( 2x+|x-3|>0 \)
Come al solito bisogna studiare il segno di \(x-3\)
$$ x-3\geq 0\Rightarrow x\geq 3 $$
L'argomento è positivo per valori superiori a \(3\). Bisogna distinguere due casi, uno dove è positiva l'altro dove è negativa.
CASO 1 \(\rightarrow\) \(x\geq 3\): In questo caso possiamo togliere il modulo lasciando l'espressione invariata, dunque
$$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$
$$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$
$$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$
Bisogna stare attenti perchè questa volta non bisogna capire se la soluzione è accettabile oppure no, ma è necessario scrivere esplicitamente che si tratta di un sistema di disequazioni formato dalla condizione iniziale e dalla soluzione parziale appena trovata, cioè
$$ \left\{\begin{matrix}
x\geq 3 \\
x>1
\end{matrix}\right. $$
Bisogna capire dove le due disequazioni sono verificate. Graficamente
Dunque la soluzione per il primo caso è
$$ x\geq 3 $$
Attenzione perchè il valore \(3\) è soluzione di entrambe le disequazioni, dunque va inserito.
CASO 2 \(\rightarrow\) \(x< 3\): In questo caso possiamo togliere il modulo cambiando il segno all'espressione, dunque
$$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$
$$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$
$$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$
Scriviamo come prima il sistema
$$ \left\{\begin{matrix}
x< 3 \\
x>-3
\end{matrix}\right. $$
Bisogna capire dove le due disequazioni sono verificate. Graficamente
Dunque la soluzione per il secondo caso è
$$ -3< x< 3 $$
Per trovare la
soluzione finale è necessario
unire le due soluzioni dei due sistemi. Graficamente
Visto che le due soluzioni si susseguono con continuità possiamo scrivere
$$ x>-3 $$