Sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni che devono valere contemporaneamente. In questo sistema possiamo avere sia equazioni di ogni tipo, di primo grado, di secondo grado e cosi via.
Per semplicità noi vedremo sistemi di primo grado cioè quelli dove le equazioni, che compongono il sistema, sono tutte di primo grado. In particolare vedremo il caso di sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite. Un sistema di questo tipo si presenta nella seguente forma $$ \left\{\begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right. $$ Risolvere questo sistema significa trovare una coppia di valori che è soluzione di tutte le equazioni. Vediamo due metodi per risolvere questo tipo di sistemi.
Supponiamo di avere un sistema di equazioni nelle variabili \(x\) e \(y\). Con il metodo di sostituzione è sufficiente calcolare la \(x\) o la \(y\) da una delle due equazioni, per poi sostituire il medesimo valore nell'altra equazione. In questo modo otteniamo una equazione in una sola incognita, in quanto una viene "eliminata". Vediamo subito un esempio per chiarire meglio il tutto.
Esempio
Risolvere il seguente sistema di equazioni \( \left\{\begin{matrix} x+y=4 \\ x-y=0 \end{matrix}\right. \)
Calcoliamo la \(x\) ad esempio dalla prima equazione $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ x-y=0 \end{matrix}\right. $$ Sostituiamo la \(x\) appena trovata nella seconda equazione. Al posto della \(x\) inseriamo \(5-y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ (4-y)-y=0 \end{matrix}\right. $$ Nella seconda equazione non abbiamo più l'incognita \(x\). Ricaviamo dunque il valore della \(y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ 4-2y=0 \Rightarrow y=2 \end{matrix}\right. $$ Abbiamo ricavato il valore della \(y\). Per trovare la \(x\) è sufficiente sostituire nella prima equazione il valore appena trovato della \(y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-2\Rightarrow x=2 \\ y=2 \end{matrix}\right. $$ E' consigliabile, una volta trovata la soluzione del sistema, verificare se essa è corretta. Bisogna sostituire i valori trovati nelle due equazioni $$ \left\{\begin{matrix} 2+2=4\hspace{3mm}OK! \\ 2-2=0\hspace{3mm}OK! \end{matrix}\right. $$ Abbiamo trovato due identità, dunque il risultato trovato è corretto.
Da memorizzare!
Passi per risolvere un sistema di equazioni con il metodo di sostituzione
Il metodo di Cramer è uno dei metodi più utilizzati per risolvere sistemi di equazioni. Questo metodo richiede un pò di passaggi, dunque è più semplice vederli direttamente con un esempio.
Esempio
Risolvere il seguente sistema di equazioni \( \left\{\begin{matrix} 2x+y=2 \\ x-2y=3 \end{matrix}\right. \)
Possiamo identificare una matrice formata da due righe e due colonne. Come prima colonna mettiamo i coefficienti della \(x\) e come seconda colonna i coefficienti della \(y\) $$ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ Calcoliamo il determinante di questa matrice facendo la differenza tra la diagonale principale e la diagonale secondaria $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 1)=-5 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 1)=-5 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-1=-5 $$ I valori della \(x\) e della \(y\) saranno due frazioni, dove al denominatore abbiamo il valore appena calcolato \(-5\). Il numeratore della \(x\) lo otteniamo calcolando il determinante della matrice che si ottiene inserendo al posto della colonna delle \(x\) i termini noti $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 3)=-7 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 3)=-7 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-3=-7 $$ In definitiva il valore della \(x\) è $$ x=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5} $$ Facciamo la stessa cosa con la \(y\). Questa volta il numeratore si ottiene calcolando il determinante della matrice che si ottiene inserendo al posto della colonna delle \(y\) i termini noti $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ In definitiva il valore della \(y\) è $$ y=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5} $$ Verifichiamo se le due soluzioni trovate sono esatte $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2 \Rightarrow 2=2\hspace{3mm} OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3 \Rightarrow 3=3\hspace{3mm} OK! \end{matrix}\right. $$ $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2 \Rightarrow 2=2\hspace{3mm} OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3 \Rightarrow 3=3\hspace{3mm} OK! \end{matrix}\right. $$ $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2\hspace{2mm}OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3\hspace{2mm} OK! \end{matrix}\right. $$ Le soluzioni trovate sono esatte.
Da memorizzare!
Passi per risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Cramer
Per semplicità noi vedremo sistemi di primo grado cioè quelli dove le equazioni, che compongono il sistema, sono tutte di primo grado. In particolare vedremo il caso di sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite. Un sistema di questo tipo si presenta nella seguente forma $$ \left\{\begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{matrix}\right. $$ Risolvere questo sistema significa trovare una coppia di valori che è soluzione di tutte le equazioni. Vediamo due metodi per risolvere questo tipo di sistemi.
Metodo di sostituzione
Supponiamo di avere un sistema di equazioni nelle variabili \(x\) e \(y\). Con il metodo di sostituzione è sufficiente calcolare la \(x\) o la \(y\) da una delle due equazioni, per poi sostituire il medesimo valore nell'altra equazione. In questo modo otteniamo una equazione in una sola incognita, in quanto una viene "eliminata". Vediamo subito un esempio per chiarire meglio il tutto.
EsempioRisolvere il seguente sistema di equazioni \( \left\{\begin{matrix} x+y=4 \\ x-y=0 \end{matrix}\right. \)
Calcoliamo la \(x\) ad esempio dalla prima equazione $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ x-y=0 \end{matrix}\right. $$ Sostituiamo la \(x\) appena trovata nella seconda equazione. Al posto della \(x\) inseriamo \(5-y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ (4-y)-y=0 \end{matrix}\right. $$ Nella seconda equazione non abbiamo più l'incognita \(x\). Ricaviamo dunque il valore della \(y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-y \\ 4-2y=0 \Rightarrow y=2 \end{matrix}\right. $$ Abbiamo ricavato il valore della \(y\). Per trovare la \(x\) è sufficiente sostituire nella prima equazione il valore appena trovato della \(y\) $$ \left\{\begin{matrix} x=4-2\Rightarrow x=2 \\ y=2 \end{matrix}\right. $$ E' consigliabile, una volta trovata la soluzione del sistema, verificare se essa è corretta. Bisogna sostituire i valori trovati nelle due equazioni $$ \left\{\begin{matrix} 2+2=4\hspace{3mm}OK! \\ 2-2=0\hspace{3mm}OK! \end{matrix}\right. $$ Abbiamo trovato due identità, dunque il risultato trovato è corretto.
Da memorizzare!Passi per risolvere un sistema di equazioni con il metodo di sostituzione
- Ricavare una delle due incognite da una delle due equazioni e sostituire tale valore nell'altra equazione;
- Risolvere questa nuova equazione in una incognita;
- Sostituire la soluzione appena trovata nell'altra equazione;
- Verificare se le soluzioni appena trovate sono esatte.
Metodo di Cramer
Il metodo di Cramer è uno dei metodi più utilizzati per risolvere sistemi di equazioni. Questo metodo richiede un pò di passaggi, dunque è più semplice vederli direttamente con un esempio.
EsempioRisolvere il seguente sistema di equazioni \( \left\{\begin{matrix} 2x+y=2 \\ x-2y=3 \end{matrix}\right. \)
Possiamo identificare una matrice formata da due righe e due colonne. Come prima colonna mettiamo i coefficienti della \(x\) e come seconda colonna i coefficienti della \(y\) $$ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ Calcoliamo il determinante di questa matrice facendo la differenza tra la diagonale principale e la diagonale secondaria $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 1)=-5 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 1)=-5 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-1=-5 $$ I valori della \(x\) e della \(y\) saranno due frazioni, dove al denominatore abbiamo il valore appena calcolato \(-5\). Il numeratore della \(x\) lo otteniamo calcolando il determinante della matrice che si ottiene inserendo al posto della colonna delle \(x\) i termini noti $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 3)=-7 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(1\cdot 3)=-7 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=2\cdot(-2)-3=-7 $$ In definitiva il valore della \(x\) è $$ x=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5} $$ Facciamo la stessa cosa con la \(y\). Questa volta il numeratore si ottiene calcolando il determinante della matrice che si ottiene inserendo al posto della colonna delle \(y\) i termini noti $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ $$ \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot(3)-(2\cdot 1)=4 $$ In definitiva il valore della \(y\) è $$ y=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5} $$ Verifichiamo se le due soluzioni trovate sono esatte $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2 \Rightarrow 2=2\hspace{3mm} OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3 \Rightarrow 3=3\hspace{3mm} OK! \end{matrix}\right. $$ $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2 \Rightarrow 2=2\hspace{3mm} OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3 \Rightarrow 3=3\hspace{3mm} OK! \end{matrix}\right. $$ $$ \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{7}{5}-\frac{4}{5}=2\Rightarrow \frac{10}{5}=2\hspace{2mm}OK! \\ \frac{7}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=3\Rightarrow \frac{15}{5}=3\hspace{2mm} OK! \end{matrix}\right. $$ Le soluzioni trovate sono esatte.
Da memorizzare!Passi per risolvere un sistema di equazioni con il metodo di Cramer
- Calcolare il determinante della matrice che ha come prima colonna quella delle \(x\) e e come seconda colonna quella delle \(y\);
- La soluzione \(x\) ha come denominatore il determinante appena calcolato e come numeratore il determinante della matrice che si ottiene sostituendo alla colonna delle \(x\), della matrice precedente, i termini noti;
- La soluzione \(y\) ha come denominatore il determinante appena calcolato e come numeratore il determinante della matrice che si ottiene sostituendo alla colonna delle \(y\), della matrice precedente, i termini noti;
- Verificare se le soluzioni appena trovate sono esatte.
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