Supponiamo di voler moltiplicare un certo numero \(m\) per se stesso 5 volte. In teoria dovremmo scrivere una cosa del tipo $$ m\cdot m\cdot m\cdot m\cdot m $$ Ovviamente è una scrittura scomoda che non ha senso scrivere in quanto è possibile scrivere la stessa cosa utilizzando il concetto di potenza. Una potenza rappresenta una moltiplicazione ripetuta, costituita da due numeri, una base che rappresenta il numero che bisogna moltiplicare per se stesso e un esponente che indica quante volte bisogna moltiplicare la base per se stessa. Matematicamente $$ m^n $$ Dove \(m\) è la base e \(n\) è l'esponente. Se ad esempio scriviamo \(2^3\) significa moltiplica il 2 per se stesso 3 volte.
Cosa succede se l'esponente diventa negativo? Per definizione abbiamo che $$ \frac{1}{m}=m^{-1} $$ In base a ciò possiamo dire che se prendiamo un numero e lo eleviamo a \(-5\) significa prendere l'inverso di quel numero ed elevarlo a \(5\), cioè $$ 2^{-5}=\frac{1}{2^5} $$
Vediamo adesso le tre proprietà fondamentali delle potenze:

• Prodotto di potenze:\(\hspace{2mm}a^n\cdot a^m=a^{n+m}\) ;
• Quoziente di potenze:\(\hspace{2mm}a^n: a^m=a^{n-m}\) ;
• Potenza di potenza:\(\hspace{2mm}(a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

Supponiamo di avere due potenze con la stessa base, \(a^m\) e \(a^n\) . Per stabilire quale potenza è più grande e la più piccola, bisogna distinguere due casi:

• Caso 1: Se \(a>1\) e \(m>n\) allora \(a^m>a^n\) ;
• Caso 2: Se \(a<{1}\) e \(m>n\) allora \(a^m<{a^n}\)

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Cosa succede ad una potenza se l'esponente è razionale? Studiamo il significato di questa scrittura $$ a^{\frac{m}{n}} $$ Entrano in scena quelli che si chiamano radicali.
Teorema fondamentale dei radicali: Se \(a\) è un numero reale positivo ed \(m\) è un intero maggiore o uguale ad 1, allora esiste un numero unico reale positivo \(b\) tale che $$ b^m=a $$ Dunque possiamo definire \(b\) come quel numero reale tale che elevato ad \(m\) da come risultato il numero \(a\) $$ b=\sqrt[m]{a} $$ Questa scrittura prende il nome di radicale che per definizione può essere riscritto utilizzando le potenze $$ \sqrt[m]{a}=a^{\frac{1}{m}} $$ Utilizzando la proprietà di potenza di potenza possiamo scrivere che $$ a^{\frac{m}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^m=\sqrt[n]{a^m} $$
Consideriamo un radicale \(\sqrt[n]{a}\). Possiamo distinguere quattro casi:

• Caso 1: Se \(a>0\) e \(n\) è dispari allora esiste una sola soluzione reale ed è \(\sqrt[n]{a}\);
• Caso 2: Se \(a>0\) e \(n\) è pari allora esistono due soluzioni cioè \(\pm\sqrt[n]{a}\);
• Caso 3: Se \(a<{0}\) e \(n\) è pari allora non esistono soluzioni reali;
• Caso 4: Se \(a<{0}\) e \(n\) è dispari allora esiste una sola soluzione reale ed è \(-\sqrt[n]{-a}\)

Ricordiamo infine che, per il teorema enunciato in precedenza, l'argomento di un radicale deve essere positivo, dunque \(\sqrt[n]{-a}\) non ha senso, anche se \(n\) è dispari. Ha invece senso scrivere \(-\sqrt[n]{a}\), che ha lo stesso valore numero ma è accettabile come scrittura.