Polinomi
Un polinomio è una espressione matematica dove abbiamo la somma algebrica di più monomi. Un monomio di per se rappresenta un polinomio che contiene un solo termine.
State bene attenti perchè se nell'espressione è presente almeno un termine che non rappresenta un moniomio allora non si può parlare di polinomio
Esempi
Vediamo alcuni esempi:
La somma algebrica tra due polinomi ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà semplicemente sommare algebricamente tutti i monomi che sono simili (stessa parte letterale) all'interno del polinomio.
Esempio
Supponiamo di voler effettuare la seguente somma \( (2x^2+xy-z^2)+(x^2-y^2) \)
Il risultato sarà $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2=3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 3x^2+xy-z^2-y^2 $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2x^2\) e \(x^2\) , il resto viene copiato così com'è, sempre rispettando dei segni di partenza.
Esempio
Supponiamo di voler effettuare la seguente differenza \( (a^2+2ab-c)-(3ab-2c) \)
Il risultato sarà $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c))=a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c)) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c)) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2-ab+c $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2ab\) e \(3ab\), \(-c\) e \(-2c\).
Il prodotto tra due polinomi è una operazione che ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo polinomio, per poi sommare algebricamente tali risultati.
Esempio
Supponiamo di voler effettuare il seguente prodotto \( (2x+y)\cdot(x^2-2xy) \)
Il risultato sarà $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) =2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+ $$ $$ +y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$
La divisione tra due polinomi è un argomento più complesso rispetto al prodotto. Esistono due metodi per svolgere questa operazione:
EsempiVediamo alcuni esempi:
- \( 2x^2 \) rappresenta un polinomio perchè costituito da un solo monomio.
- \( x^2+3x+2 \) rappresenta un polinomio in quanto abbiamo la somma algebrica di tre monomi.
- \( x^2+\sqrt{x} \) non rappresenta un polinomio perche \(\sqrt{x}\) non è un monomio.
Somma e differenza tra polinomi
La somma algebrica tra due polinomi ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà semplicemente sommare algebricamente tutti i monomi che sono simili (stessa parte letterale) all'interno del polinomio.
EsempioSupponiamo di voler effettuare la seguente somma \( (2x^2+xy-z^2)+(x^2-y^2) \)
Il risultato sarà $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2=3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 3x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ 2x^2+x^2+xy-z^2-y^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 3x^2+xy-z^2-y^2 $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2x^2\) e \(x^2\) , il resto viene copiato così com'è, sempre rispettando dei segni di partenza.
EsempioSupponiamo di voler effettuare la seguente differenza \( (a^2+2ab-c)-(3ab-2c) \)
Il risultato sarà $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c))=a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c)) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2-ab+c $$ $$ a^2+(2ab-3ab)+(-c-(-2c)) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2-ab+c $$ In questo caso gli unici monomi simili sono \(2ab\) e \(3ab\), \(-c\) e \(-2c\).
Prodotto tra polinomi
Il prodotto tra due polinomi è una operazione che ci restituisce un nuovo polinomio. Per svolgere tale operazione basterà moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo polinomio, per poi sommare algebricamente tali risultati.
EsempioSupponiamo di voler effettuare il seguente prodotto \( (2x+y)\cdot(x^2-2xy) \)
Il risultato sarà $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) =2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x\cdot(x^2)+2x\cdot(-2xy)+ $$ $$ +y\cdot(x^2)+y\cdot(-2xy) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$
Divisione tra polinomi
La divisione tra due polinomi è un argomento più complesso rispetto al prodotto. Esistono due metodi per svolgere questa operazione:
- Metodo canonico: Si tratta di una divisione tabellare simile a quella che viene usata per la divisione classica tra numeri. Potete immaginare da voi la complessità di tale metodo quando al posto dei numeri abbiamo dei polinomi;
- Regola di Ruffini: In questo caso dovrete imparare un metodo del tutto nuovo. La regola di Ruffini la ritroverete praticamente ovunque, è fondamentale.
Quando è possibile, conviene utilizzare tale regola, perchè è più veloce e meno complessa del metodo canonico.
Entrambi i metodi, vista la loro "complessità", verranno trattati nel corso di Algebra.
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