Esercizio 1

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$$ (x^2-x+1):(x^3+1) $$ $$ (x^2-x+1):(x^3+1) $$ $$ (x^2-x+1):(x^3+1) $$ Cosa succede quando, come in questo caso, il monomio di grado massimo del dividendo è più basso del monomio di grado massimo del divisore? La divisione non è necessario svolgerla, in quanto il risultato è già noto. In particolare come quoziente abbiamo \(0\) e come resto abbiamo il dividendo, infatti sfruttando la formula del dividendo otteniamo $$ (x^2-x+1)=(x^3+1)\cdot 0+(x^2-x+1) $$ $$ (x^2-x+1) $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x^3+1)\cdot 0+(x^2-x+1) $$ $$ (x^2-x+1) $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x^3+1)\cdot 0+(x^2-x+1) $$ L'identità ovviamente è rispettata.

 Esercizio 2

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$$ (31a^2b^2-13a^3b-38ab^3+24b^4+2a^4):(4b^2+2a^2-3ab) $$ $$ (31a^2b^2-13a^3b-38ab^3+24b^4+2a^4): $$ $$ :(4b^2+2a^2-3ab) $$ $$ (31a^2b^2-13a^3b-38ab^3+24b^4+2a^4): $$ $$:(4b^2+2a^2-3ab) $$ Cosa succede quando, come in questo caso, abbiamo dividendo e divisore con più di una lettera? In realtà nulla di speciale. Bisogna decidere rispetto a quale lettera effettuare la divisione e in base a ciò si procede con l'ordinamento rispetto a quella lettera di dividendo e divisore. Il risultato ovviamente sarà lo stesso.
Svolgiamo la divisione rispetto alla lettera \(a\) $$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4):(2a^2-3ab+4b^2) $$ $$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4):$$ $$ :(2a^2-3ab+4b^2) $$ $$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4):$$ $$ :(2a^2-3ab+4b^2) $$ Vediamo tutti i passaggi, sono gli stessi visti prima, che portano al risultato finale
Il quoziente è pari a \(a^2-5ab+6b^2\) e il resto è pari a \(0\). Quando il resto è nullo si dice che il divisore divide perfettamente il dividendo (è una cosa ottima!) $$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4)=(2a^2-3ab+4b^2)\cdot(a^2-5ab+6b^2) $$ $$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4)$$ $$ \Downarrow $$ $$ (2a^2-3ab+4b^2)\cdot(a^2-5ab+6b^2) $$
$$ (2a^4-13a^3b+31a^2b^2-38ab^3+24b^4)$$ $$ \Downarrow $$ $$ (2a^2-3ab+4b^2)\cdot(a^2-5ab+6b^2) $$

 Esercizio 3

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Svolgiamo lo stesso esercizio (il numero 2) però rispetto alla lettera \(b\) $$ (24b^4-38ab^3+31a^2b^2-13a^3b+2a^4):(4b^2-3ab+2a^2) $$ $$ (24b^4-38ab^3+31a^2b^2-13a^3b+2a^4):$$ $$:(4b^2-3ab+2a^2) $$ $$ (24b^4-38ab^3+31a^2b^2-13a^3b+2a^4):$$ $$:(4b^2-3ab+2a^2) $$
Come vedete il risultato è lo stesso, semplicemente il quoziente è ordinato rispetto alla lettera \(b\).