Regola di Ruffini
Abbiamo visto che è possibile utilizzare il metodo canonico per svolgere una qualsiasi divisione tra polinomi. In alcuni casi è possibile utilizzare la regola di Ruffini per eseguire la divisione tra polinomi rapidamente.
Per poter utilizzare questo metodo, il divisore deve necessariamente essere un binomio di primo grado, cioè $$ x+a $$ oppure $$ x-a $$ La lettera \(a\) è un numero, mentre la \(x\) è un monomio con coefficiente pari ad 1. Se non è pari ad 1 basterà dividere tutto per quel coefficiente.
Se il divisore non è un binomio di primo grado, bisogna utiizzare necessariamente il metodo canonico per svolgere la divisione. Il polinomio dividendo deve essere ordinato in senso decrescente, e deve essere completo, infatti se mancano dei termini vanno inseriti con coefficiente pari a 0.
Esempio regola di Ruffini
Supponiamo di voler svolgere la seguente divisione $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ Questa divisione si può svolgere con Ruffini perchè il divisore rispetta le condizioni, è un binomio di primo grado. Il polinomio dividendo è sia completo che ordinato in senso decrescente, quindi non dobbiamo fare nulla su di esso.
Il metodo di Ruffini consiste nella costruzione di una tabella:
Inseriamo nella prima riga (tra le due barre verticali) i coefficienti del dividendo. Il termine noto del dividendo lo inseriamo a destra della seconda barra (numero in blu), mentre il termine noto del divisore,cambiato di segno, lo inseriamo in basso a sinistra della prima barra (numero in rosso) $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Abbassiamo il primo coefficiente, cioè \(2\), sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno, cioè \(-1\), e lo riscriviamo sotto il secondo coefficiente $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nella seconda colonna, cioè \((1+(-2))\) e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno e lo riscriviamo sotto il terzo coefficiente $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nella terza colonna, cioè \((-1+1)\) e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno e lo riscriviamo sotto il termine noto del dividendo $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nell'ultima colonna e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ Abbiamo terminato la nostra tabella. Da questa dobbiamo estrapolare il quoziente e il resto della divisione.
L'elemento in verde cioè \(-1\) rappresenta il resto della divisione, mentre i numeri che si trovano nell'ultima riga tra le due barre verticali sono i coefficienti del quoziente. In particolare:
Possiamo dire che il quoziente e il resto sono rispettivamente $$ Q=2x^2-x $$ $$ R=-1 $$ In definitiva il dividendo può essere scritto nel seguente modo $$ 2x^3+x^2-x-1=(x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ $$ 2x^3+x^2-x-1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ $$ 2x^3+x^2-x-1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ Verificate da voi che questa è una identità corretta.
Nulla vi vieta di eseguire le divisioni utilizzando sempre il metodo canonico, però quando possibile, è conveniente utilizzare Ruffini in quanto è decisamente più rapido.
Per poter utilizzare questo metodo, il divisore deve necessariamente essere un binomio di primo grado, cioè $$ x+a $$ oppure $$ x-a $$ La lettera \(a\) è un numero, mentre la \(x\) è un monomio con coefficiente pari ad 1. Se non è pari ad 1 basterà dividere tutto per quel coefficiente.
Se il divisore non è un binomio di primo grado, bisogna utiizzare necessariamente il metodo canonico per svolgere la divisione. Il polinomio dividendo deve essere ordinato in senso decrescente, e deve essere completo, infatti se mancano dei termini vanno inseriti con coefficiente pari a 0.
Esempio regola di Ruffini Supponiamo di voler svolgere la seguente divisione $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ $$ (2x^3+x^2-x-1):(x+1) $$ Questa divisione si può svolgere con Ruffini perchè il divisore rispetta le condizioni, è un binomio di primo grado. Il polinomio dividendo è sia completo che ordinato in senso decrescente, quindi non dobbiamo fare nulla su di esso.
Il metodo di Ruffini consiste nella costruzione di una tabella:
Inseriamo nella prima riga (tra le due barre verticali) i coefficienti del dividendo. Il termine noto del dividendo lo inseriamo a destra della seconda barra (numero in blu), mentre il termine noto del divisore,cambiato di segno, lo inseriamo in basso a sinistra della prima barra (numero in rosso) $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & & & & \end{array} $$ Abbassiamo il primo coefficiente, cioè \(2\), sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno, cioè \(-1\), e lo riscriviamo sotto il secondo coefficiente $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & & & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nella seconda colonna, cioè \((1+(-2))\) e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno e lo riscriviamo sotto il terzo coefficiente $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nella terza colonna, cioè \((-1+1)\) e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 & \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ Moltiplichiamo tale valore per il termine noto del divisore cambiato di segno e lo riscriviamo sotto il termine noto del dividendo $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$ Calcoliamo la somma algebrica tra i due numeri in verticale nell'ultima colonna e la scriviamo sotto la barra orizzontale $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 2 & 1 & -1 & {\color{blue}{-1}}\\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -2 & 1 &0 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & {\color{green}{-1}} \end{array} $$ Abbiamo terminato la nostra tabella. Da questa dobbiamo estrapolare il quoziente e il resto della divisione.
L'elemento in verde cioè \(-1\) rappresenta il resto della divisione, mentre i numeri che si trovano nell'ultima riga tra le due barre verticali sono i coefficienti del quoziente. In particolare:
- \(2\) è il coefficiente di \(x^2\);
- \(-1\) è il coefficiente di \(x\);
- \(0\) è il termine noto.
Possiamo dire che il quoziente e il resto sono rispettivamente $$ Q=2x^2-x $$ $$ R=-1 $$ In definitiva il dividendo può essere scritto nel seguente modo $$ 2x^3+x^2-x-1=(x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ $$ 2x^3+x^2-x-1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ $$ 2x^3+x^2-x-1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+1)\cdot (2x^2-x)-1 $$ Verificate da voi che questa è una identità corretta.
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