Esercizio 1

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$$ (2x^4+x^2-1):(2x-2) $$ $$ (2x^4+x^2-1):(2x-2) $$ $$ (2x^4+x^2-1):(2x-2) $$ Per prima cosa bisogna controllare il divisore. E' un binomio di primo grado, dunque si può utilizzare la regola di ruffini.
Bisogna,però, dividere tutta l'espressione per il coefficiente della \(x\) del divisore, in quanto è pari a \(2\). Inoltre, nel dividendo, manca il termine con la \(x^3\) e il termine con la \(x\). In definitiva prima di procedere dobbiamo riscrivere la divisione nel seguente modo $$ \frac{(2x^4+0x^3+x^2+0x-1)}{2}:\frac{(2x-2)}{2} $$ $$ \frac{(2x^4+0x^3+x^2+0x-1)}{2}:\frac{(2x-2)}{2} $$ $$ \frac{(2x^4+0x^3+x^2+0x-1)}{2}:$$ $$:\frac{(2x-2)}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ \left(x^4+0x^3+\frac{1}{2}x^2+0x-\frac{1}{2}\right):(x-1) $$ $$ \left(x^4+0x^3+\frac{1}{2}x^2+0x-\frac{1}{2}\right):(x-1) $$ $$ \left(x^4+0x^3+\frac{1}{2}x^2+0x-\frac{1}{2}\right):$$ $$:(x-1) $$ Passiamo adesso alla regola di Ruffini, scrivendo la tabella finale $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ & & & & \\ {\color{red}{1}} & & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \hline & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & {\color{green}{1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ & & & & \\ {\color{red}{1}} & & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \hline & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & {\color{green}{1}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ & & & & \\ {\color{red}{1}} & & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \hline & 1 & 1 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & {\color{green}{1}} \end{array} $$ Scriviamo resto e quoziente $$ Q=x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} $$ $$ Q=x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} $$ $$ Q=x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} $$ $$ R=1 $$ In definitiva $$ x^4+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}=(x-1)\cdot \left(x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\right)+1 $$ $$ x^4+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2} $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x-1)\cdot \left(x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\right)+1 $$ $$ x^4+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2} $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x-1)\cdot \left(x^3+x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\right)+1 $$ A voi il compito di fare la verifica del risultato.

 Esercizio 2

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$$ (a^4+a^2-3a^3-3a):(a+1) $$ $$ (a^4+a^2-3a^3-3a):(a+1) $$ $$ (a^4+a^2-3a^3-3a):(a+1) $$ Si può utilizzare la regola di Ruffini. Il dividendo non è ordinato e manca il termine noto $$ (a^4-3a^3+a^2-3a+0):(a+1) $$ $$ (a^4-3a^3+a^2-3a+0):(a+1) $$ $$ (a^4-3a^3+a^2-3a+0):(a+1) $$ Scriviamo la tabella $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & -3 & 1 & -3 & 0 \\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -1 & 4 & -5 & 8 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -8 & {\color{green}{8}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & -3 & 1 & -3 & 0 \\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -1 & 4 & -5 & 8 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -8 & {\color{green}{8}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & -3 & 1 & -3 & 0 \\ & & & & \\ {\color{red}{-1}} & & -1 & 4 & -5 & 8 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -8 & {\color{green}{8}} \end{array} $$ Scriviamo resto e quoziente $$ Q=a^3-4a^2+5a-8 $$ $$ R=8 $$ In definitiva $$ (a^4+a^2-3a^3-3a)=(a+1)\cdot(a^3-4a^2+5a-8)+8 $$ $$ (a^4+a^2-3a^3-3a) $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a+1)\cdot(a^3-4a^2+5a-8)+8 $$ $$ (a^4+a^2-3a^3-3a) $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a+1)\cdot(a^3-4a^2+5a-8)+8 $$ A voi il compito di fare la verifica del risultato.

 Esercizio 3

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$$ (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) $$ $$ (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) $$ $$ (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) $$ In questo caso possiamo procedere alla risoluzione diretta tramite Ruffini in quanto il divisore e il dividendo non devono essere modificati $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 3 & 7 & 4 & 4 \\ & & & & \\ {\color{red}{-2}} & & -6 &-2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & {\color{green}{0}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 3 & 7 & 4 & 4 \\ & & & & \\ {\color{red}{-2}} & & -6 &-2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & {\color{green}{0}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrr|r}& 3 & 7 & 4 & 4 \\ & & & & \\ {\color{red}{-2}} & & -6 &-2 & -4 \\ \hline & 3 & 1 & 2 & {\color{green}{0}} \end{array} $$ Scriviamo resto e quoziente $$ Q=3x^2+x+2 $$ $$ R=0 $$ In definitiva $$ 3x^3+7x^2+4x+4=(x+2)\cdot(3x^2+x+2) $$ $$ 3x^3+7x^2+4x+4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+2)\cdot(3x^2+x+2) $$ $$ 3x^3+7x^2+4x+4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (x+2)\cdot(3x^2+x+2) $$ Quando il resto di una divisione viene 0 si dice che il divisore divide perfettamente il dividendo.

 Esercizio 4

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$$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ $$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ $$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ Questo è un esercizio patologico in quanto il divisore è un binomio di primo grado ma compaiono le lettere \(a\) e \(x\). Fino ad adesso abbiamo sempre visto una lettera e un numero. Ovviamente Ruffini si può applicare lo stesso però bisogna fare una scelta:
Rispetto a quale lettera eseguiamo la divisione tramite Ruffini? La scelta è del tutto ininfluente e non cambierà il risultato finale. Per una questione didattica vedremo entrambe le scelte.
Dividiamo prima rispetto alla lettera \(a\), dunque entrambi i polinomi vanno ordinati rispetto a tale lettera in senso decrescente. Fatta questa scelta si verifica se il polinomio dividendo è ordinato e se il divisore ha coefficiente pari a \(1\) rispetto alla lettera scelta.
Riscriviamo la divisione rispetto ad \(a\) $$ (a^4+0a^3-2a^2x^2+0a+x^4):(a-2x) $$ $$ (a^4+0a^3-2a^2x^2+0a+x^4):(a-2x) $$ $$ (a^4+0a^3-2a^2x^2+0a+x^4):$$ $$:(a-2x) $$ In questo caso \(x^4\) ha la funzione di termine noto perchè ha la lettera \(a\) con grado \(0\). Il divisore non va modificato, in quanto la lettera \(a\) ha coefficiente pari ad \(1\). Scriviamo la tabella $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & -2x^2 & 0 & x^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{2x}} & & 2x &4x^2 & 4x^3& 8x^4 \\ \hline & 1 & 2x & 2x^2 &4x^3 & {\color{green}{9x^4}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & -2x^2 & 0 & x^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{2x}} & & 2x &4x^2 & 4x^3& 8x^4 \\ \hline & 1 & 2x & 2x^2 &4x^3 & {\color{green}{9x^4}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& 1 & 0 & -2x^2 & 0 & x^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{2x}} & & 2x &4x^2 & 4x^3& 8x^4 \\ \hline & 1 & 2x & 2x^2 &4x^3 & {\color{green}{9x^4}} \end{array} $$ Come vedete quello che cambia è che nella tabella al posto di soli numeri abbiamo anche le lettere non coinvolte nella nostra scelta, in sostanza tutto quello che non è \(a\) rappresenta una costante, un numero. Chiaramente le somme vengono fatte tra monomi simili.
Scriviamo resto e quoziente $$ Q=a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3 $$ $$ Q=a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3 $$ $$ Q=a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3 $$ $$ R=9x^4 $$ In definitiva $$ -2a^2x^2+x^4+a^4=(a-2x)\cdot(a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3)+9x^4 $$ $$ -2a^2x^2+x^4+a^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a-2x)\cdot(a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3)+9x^4 $$ $$ -2a^2x^2+x^4+a^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a-2x)\cdot $$ $$ \cdot(a^3+2a^2x+2ax^2+4x^3)+$$ $$+9x^4 $$

 Esercizio 5

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$$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ $$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ $$ (-2a^2x^2+x^4+a^4):(a-2x) $$ Ora facciamo lo stesso esercizio però rispetto alla lettera \(x\). Bisogna ordinare i polinomi rispetto a tale lettera inoltre al dividendo mancano i termini con la \(x^3\) e la \(x\) e il divisore ha come coefficiente della \(x\) il valore \((-2)\), dunque va diviso tutto per tale valore $$ \left(-\frac{1}{2}x^4+0x^3+a^2x^2+0x-\frac{1}{2}a^4\right):\left(x-\frac{1}{2}a\right) $$ $$ \left(-\frac{1}{2}x^4+0x^3+a^2x^2+0x-\frac{1}{2}a^4\right):\left(x-\frac{1}{2}a\right) $$ $$ \left(-\frac{1}{2}x^4+0x^3+a^2x^2+0x-\frac{1}{2}a^4\right):$$ $$:\left(x-\frac{1}{2}a\right) $$ Scriviamo la tabella $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& -\frac{1}{2} & 0 & a^2 & 0 & -\frac{1}{2}a^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{\frac{1}{2}a}} & & -\frac{1}{4}a &-\frac{1}{8}a^2 & \frac{7}{16}a^3& \frac{7}{32}a^4 \\ \hline & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4}a & \frac{7}{8}a^2 &\frac{7}{16}a^3 & {\color{green}{-\frac{9}{32}a^4}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& -\frac{1}{2} & 0 & a^2 & 0 & -\frac{1}{2}a^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{\frac{1}{2}a}} & & -\frac{1}{4}a &-\frac{1}{8}a^2 & \frac{7}{16}a^3& \frac{7}{32}a^4 \\ \hline & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4}a & \frac{7}{8}a^2 &\frac{7}{16}a^3 & {\color{green}{-\frac{9}{32}a^4}} \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rrrr|r}& -\frac{1}{2} & 0 & a^2 & 0 & -\frac{1}{2}a^4 \\ & & & & \\ {\color{red}{\frac{1}{2}a}} & & -\frac{1}{4}a &-\frac{1}{8}a^2 & \frac{7}{16}a^3& \frac{7}{32}a^4 \\ \hline & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4}a & \frac{7}{8}a^2 &\frac{7}{16}a^3 & {\color{green}{-\frac{9}{32}a^4}} \end{array} $$ Scriviamo resto e quoziente $$ Q=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3 $$ $$ Q=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3 $$ $$ Q=-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3 $$ $$ R=-\frac{9}{32}a^4 $$ In definitiva $$ -\frac{1}{2}x^4+a^2x^2-\frac{1}{2}a^4=\left(x-\frac{1}{2}a\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3\right)-\frac{9}{32}a^4 $$ $$ -\frac{1}{2}x^4+a^2x^2-\frac{1}{2}a^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ \left(x-\frac{1}{2}a\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3\right)-\frac{9}{32}a^4 $$ $$ -\frac{1}{2}x^4+a^2x^2-\frac{1}{2}a^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$\left(x-\frac{1}{2}a\right)\cdot$$ $$\cdot\left(-\frac{1}{2}x^3-\frac{1}{4}x^2a+\frac{7}{8}xa^2+\frac{7}{16}a^3\right)-$$ $$-\frac{9}{32}a^4 $$ Entrambe le strategie sono esatte, anche se ovviamente forniscono risultati di quoziente e resto differenti.
Da notare che nel secondo caso abbiamo lavorato molto con le frazioni quindi è stato più faticoso, sta al vostro occhio la scelta migliore.