Equazioni algebriche
In matematica esistono due tipi di uguaglianza:
Il primo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile aggiungere o sottrarre una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale.
Il secondo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile moltiplicare o dividere una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale. Attenzione però perchè questa quantità deve necessariamente essere diversa da zero.
Una equazione di primo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad uno. Ad esempio $$ x-1=0 $$ E' di primo grado perchè l'incognita \(x\) è con grado uno. Per risolvere una equazione di primo grado è sufficiente isolare l'incognita, cioè utilizzando i principi di equivalenza visti prima, è possibile spostare tutti i termini senza l'incognita da una parte, ad esempio a destra, e i termini noti, cioè i termini senza l'incognita, dall'altra parte.
Una volta fatto questo con una serie di passaggi algebrici siamo in grado ricavare il valore della \(x\).
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione di primo grado \( 2x-1=0 \)
Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno $$ 2x=+1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\) $$ x=\frac{1}{2} $$ La soluzione è proprio \(\frac{1}{2}\), infatti sostituendo tale valore all'equazione otteniamo una identità.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione di primo grado \( 3x-1=2 \)
$$ 3x=2+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 3x=3 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{3}{3}=1 $$
Una equazione di secondo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a due. Questo tipo di equazioni si possono presentare sotto varie forme, quella completa è la seguente $$ ax^2+bx+c=0 $$ Dove \(a\),\(b\) e \(c\) sono numeri reali e in particolare \(c\) è diverso da zero, altrimenti non ci riferiamo più ad una equazione di secondo grado. Per risolvere questo tipo di equazioni è sufficiente applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ Dove \(b^2-4ac\) rappresenta il determinante o spesso chiamato anche discriminanteindicato con il simbolo \(\Delta\).
Il ruolo del \(\Delta\) è fondamentale, in quanto in base al valore possiamo distinguere tre casi:
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2+5x+6=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ Il \(Delta\) è venuto positivo, dunque troveremo due soluzioni reali e distinte. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt 1}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$ $$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2-4x+4=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=16-16=0 $$ Il \(Delta\) è venuto nullo, dunque troveremo due soluzioni reali e coincidenti. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt 0}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=x_{2}=\frac{4}{2}=2 $$
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2+2x+2=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=4-8=-4 $$ Il \(Delta\) è venuto negativo, dunque troveremo due soluzioni complesse e coniugate. In sostanza ci possiamo tranquillamente fermare, in quanto in genere si cercano soluzioni reali.
- Identità: rappresenta una uguaglianza dove a sinistra abbiamo un qualcosa che coincide con quello che sta a destra del segno di uguaglianza. Ad esempio
$$ 2x+x=3x $$ - Equazione: rappresenta una uguaglianza dove bisogna calcolare il valore dell'incognita. A differenza dell'identità, l'equazione non si verifica sempre, dipende infatti dal valore che diamo all'incognita. Ad esempio
$$ 2x+x=1 $$
Principi di equivalenza
Il primo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile aggiungere o sottrarre una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale.
Il secondo principio di equivalenza ci dice che all'interno di una equazione è possibile moltiplicare o dividere una stessa quantità a destra e a sinistra del segno di uguale. Attenzione però perchè questa quantità deve necessariamente essere diversa da zero.
Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad uno. Ad esempio $$ x-1=0 $$ E' di primo grado perchè l'incognita \(x\) è con grado uno. Per risolvere una equazione di primo grado è sufficiente isolare l'incognita, cioè utilizzando i principi di equivalenza visti prima, è possibile spostare tutti i termini senza l'incognita da una parte, ad esempio a destra, e i termini noti, cioè i termini senza l'incognita, dall'altra parte.
Una volta fatto questo con una serie di passaggi algebrici siamo in grado ricavare il valore della \(x\).
Esempio 1Risolvere la seguente equazione di primo grado \( 2x-1=0 \)
Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno $$ 2x=+1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\) $$ x=\frac{1}{2} $$ La soluzione è proprio \(\frac{1}{2}\), infatti sostituendo tale valore all'equazione otteniamo una identità.
Esempio 2Risolvere la seguente equazione di primo grado \( 3x-1=2 \)
$$ 3x=2+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 3x=3 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{3}{3}=1 $$
Equazioni di secondo grado
Una equazione di secondo grado è una equazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a due. Questo tipo di equazioni si possono presentare sotto varie forme, quella completa è la seguente $$ ax^2+bx+c=0 $$ Dove \(a\),\(b\) e \(c\) sono numeri reali e in particolare \(c\) è diverso da zero, altrimenti non ci riferiamo più ad una equazione di secondo grado. Per risolvere questo tipo di equazioni è sufficiente applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ Dove \(b^2-4ac\) rappresenta il determinante o spesso chiamato anche discriminanteindicato con il simbolo \(\Delta\).
Il ruolo del \(\Delta\) è fondamentale, in quanto in base al valore possiamo distinguere tre casi:
- \(\Delta>0\) : quando il valore del \(\Delta\) è positivo l'equazione ammette due soluzioni reali distinte;
- \(\Delta=0\) : quando il valore del \(\Delta\) è nullo l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, cioè una sola soluzione con molteplicità pari a due;
- \(\Delta<{0}\) : quando il valore del \(\Delta\) è negativo l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate , dunque non è possibile trovare soluzioni nei numeri reali.
Esempio 1Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2+5x+6=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ Il \(Delta\) è venuto positivo, dunque troveremo due soluzioni reali e distinte. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt 1}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=\frac{-5+1}{2}=-2 $$ $$ x_{2}=\frac{-5-1}{2}=-3 $$
Esempio 2Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2-4x+4=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=16-16=0 $$ Il \(Delta\) è venuto nullo, dunque troveremo due soluzioni reali e coincidenti. In particolare $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt b^2-4ac}{2a} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt 0}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_{1}=x_{2}=\frac{4}{2}=2 $$
Esempio 3Risolvere la seguente equazione di secondo grado \( x^2+2x+2=0 \)
Calcoliamo il determinante $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=4-8=-4 $$ Il \(Delta\) è venuto negativo, dunque troveremo due soluzioni complesse e coniugate. In sostanza ci possiamo tranquillamente fermare, in quanto in genere si cercano soluzioni reali.
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