Teorema

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Consideriamo la seguente equazione esponenziale $$ a^x=b $$ Se \(a\) e \(b\) sono due numeri reali e positivi e \(a\) è diverso da uno, allora esiste un numero reale \(\alpha\) che messo come esponente di \(a\) otteniamo \(b\). Matematicamente $$ a^{\alpha}=b $$ Questo numero \(\alpha\) prende il nome di logaritmo $$ \alpha=\log_a{b} $$ Da qui deriva che $$ a^{log_a{b}}=b $$ Il logaritmo è l'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza.

 Esempio 1
Risolvere la seguente equazione esponenziale elementare \( \hspace{3mm}2^{x^2+2x}=1 \)

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Dobbiamo provare ad avere a destra una potenza di \(2\), in modo da uguagliare gli argomenti. Ci ricordiamo che il numero \(1\) non è nient'altro che un qualsiasi numero elevato a \(0\), cioè $$ a^0=1 $$ Dunque possiamo scrivere \(1\) come potenza di 2 $$ 2^{x^2+2x}=2^0 $$ Adesso abbiamo la forma classica dove possiamo uguagliare gli argomenti $$ 2^{x^2+2x}=2^0\iff x^2+2x=0 $$ $$ 2^{x^2+2x}=2^0\iff x^2+2x=0 $$ $$ 2^{x^2+2x}=2^0\iff x^2+2x=0 $$ Non ci resta che risolvere una semplice equazione algebrica di secondo grado $$ x(x+2)=0 $$ $$ x_1=0 $$ $$ x_2=-2 $$ Queste sono le due soluzioni dell'equazione esponenziale.

 Esempio 2
Risolvere la seguente equazione esponenziale con logaritmo \( \hspace{3mm}9\cdot 3^{2x}=5 \)

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Per prima cosa scriviamo il \(9\) come potenza di \(3\) $$ 3^2\cdot 3^{2x}=5 $$ Dalle proprietà delle potenze otteniamo $$ 3^{2x+2}=5 $$ Visto che \(5\) non può essere espresso tramite una potenza di \(3\) è necessario applicare il logaritmo in base \(3\) ad entrambi i membri, in modo tale da far sparire la potenza al primo membro $$ \log_3{3^{2x+2}}=log_3{5}\Rightarrow 2x+2=log_3{5} $$ $$ \log_3{3^{2x+2}}=log_3{5}\Rightarrow 2x+2=log_3{5} $$ $$ \log_3{3^{2x+2}}=log_3{5} $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x+2=log_3{5} $$ Dunque troviamo la nostra soluzione $$ x=\frac{log_3{5}-2}{2} $$

 Esempio 3
Risolvere la seguente equazione esponenziale con basi diverse \( \hspace{3mm}4\cdot 2^{x-1}-3^x=2^{x}-3^{x-1} \) \( \hspace{3mm}4\cdot 2^{x-1}-3^x=2^{x}-3^{x-1} \) \( \hspace{3mm}4\cdot 2^{x-1}-3^x=2^{x}-3^{x-1} \)

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Potete notare da voi che abbiamo \(4\) potenze con \(2\) basi diverse. Con una serie di passaggi algebrici dobbiamo riuscire ad ottenere una espressione con una sola base, comune a tutte. Per prima cosa spostiamo a sinistra le potenze con la base \(2\) e a destra quelle con la base \(3\) $$ 4\cdot 2^{x-1}-2^{x}=+3^x-3^{x-1} $$ $$ 4\cdot 2^{x-1}-2^{x}=+3^x-3^{x-1} $$ $$ 4\cdot 2^{x-1}-2^{x}=+3^x-3^{x-1} $$ Utilizziamo la proprietà del prodotto di potenze per riscrivere l'espressione $$ 4\cdot 2^{-1}\cdot 2^x-2^x=3^x-3^{-1}\cdot 3^x $$ $$ 4\cdot 2^{-1}\cdot 2^x-2^x=3^x-3^{-1}\cdot 3^x $$ $$ 4 2^{-1}\cdot 2^x-2^x=3^x-3^{-1} 3^x $$ Mettiamo in evidenza a sinistra \(2^x\) e a destra \(3^x\) $$ 2^x\left(4\cdot \frac{1}{2}-1\right)=3^x\left(1-\frac{1}{3}\right) $$ $$ 2^x\left(4\cdot \frac{1}{2}-1\right)=3^x\left(1-\frac{1}{3}\right) $$ $$ 2^x\left(4\cdot \frac{1}{2}-1\right)=3^x\left(1-\frac{1}{3}\right) $$ $$ \downarrow $$ $$ 2^x(1)=3^x\left(\frac{2}{3}\right) $$ Dividiamo tutto per \(3^x\) in modo da isolare i numeri dalle potenze $$ \frac{2^x}{3^x}=\frac{2}{3} $$ Sia il \(3\) che il \(2\) sono elevati allo stesso esponente, dunque $$ \left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3} $$ Adesso abbiamo una equazione elementare, dove ogni termine ha la stessa base. La soluzione finale è dunque $$ x=1 $$

 Esempio 4
Risolvere la seguente equazione esponenziale con sostituzione \( \hspace{3mm}2^{2x}-6\cdot 2^x +8=0 \)

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Utilizzando la proprietà di potenza di potenza possiamo scrivere $$ (2^{x})^2-6\cdot 2^x +8=0 $$ Notiamo che \(2^x\) compare con esponente uno e con esponente due. Possiamo pensare di effettuare la seguente sostituzione $$ 2^x=y $$ In questo modo otteniamo una equazione di secondo grado $$ y^2-6y+8=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=36-32=4 $$ $$ \downarrow $$ $$ y=\frac{6\pm 2}{2} $$ $$ \downarrow $$ $$ y_1=4 $$ $$ y_2=2 $$ Adesso dobbiamo ritornare alla variabile \(x\), dunque per la soluzione \(y_1\) otteniamo $$ 2^x=y\Rightarrow 2^x=4 $$ Questa equazione esponenziale è banale infatti $$ 2^x=4\Rightarrow 2^x=2^2\Rightarrow x=2 $$ $$ 2^x=4\Rightarrow 2^x=2^2\Rightarrow x=2 $$ $$ 2^x=4\Rightarrow 2^x=2^2\Rightarrow x=2 $$ Per la soluzione \(y_2\) invece otteniamo $$ 2^x=2\Rightarrow x=1 $$