Equazioni irrazionali
Una equazione irrazionale è una equazione dove l'incognita compare sotto il segno di radice. Per poter affrontare al meglio questo tipo di equazioni è necessario conoscere qualcosa sui radicali. Per risolvere questo tipo di equazioni è necessario "eliminare" le radici elevando tutto per l'indice delle radici. In realtà vedremo che a volte non è cosi semplice come sembra.
Possiamo distingure tra equazioni irrazionali con indice pari e equazioni irrazionali con indice pari. Le prime sono quelle più "complesse" da trattare.
Supponiamo di avere la seguente uguaglianza $$ 2=-2 $$ Ovviamente si tratta di una uguaglianza falsa. Proviamo ad elevare tutto al quadrato $$ 2^2=(-2)^2\Rightarrow 4=4 $$ Adesso è magicamente diventata una uguaglianza vera. Con questo semplice esempio abbiamo imparato che, se elevando ad una potenza pari, una uguaglianza falsa può diventare vera.
In sostanza quando eleviamo ad una potenza pari, senza fare controlli sulla positività dei fattori, si possono introdurre soluzioni con concordi con l'equazione di partenza, soluzioni non valide. Ricordiamo che tra queste soluzioni sono presenti anche quelle esatte.
Da memorizzare!
Metodi per risolvere una equazione irrazionale con indice pari
Esistono sostanzialmente due metodi per risolvere questo tipo di equazioni:
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione irrazionale \( \sqrt{x+1}-2x=-1 \)
Isoliamo la radice portando il \(-2x\) a destra $$ \sqrt{x+1}=2x-1 $$ Utilizziamo il primo metodo. Eleviamo tutto al quadrato $$ (\sqrt{x+1})^2=(2x-1)^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ x+1=4x^2-4x+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 4x^2-5x=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x(4x-5)=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x_1=0 $$ $$ x_2=\frac{5}{4} $$ Bisogna adesso verificare se queste due soluzioni sono anche soluzione dell'equazione di partenza. Sostituiamo il valore \(0\) all'equazione $$ \sqrt{0+1}=2\cdot 0-1\Rightarrow 1=-1 $$ Soluzione non valida in quanto porta ad una uguaglianza falsa. Sostituiamo il valore \(\frac{5}{4}\) all'equazione $$ \sqrt{\frac{5}{4}+1}=2\cdot \frac{5}{4}-1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}-1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{3}{2}=\frac{3}{2} $$ La soluzione è valida in quanto porta ad una uguaglianza vera. Utilizziamo il secondo metodo per risolvere la stessa equazione. Quali sono le condizioni iniziali? Sicuramente l'argomento del radicale deve essere maggiore o uguale di zero, inoltre per verificare l'uguaglianza, a destra ci dovrà essere per forza una quantità maggiore o uguale di zero. Dunque $$ \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0 \Rightarrow x\geq -1\\ 2x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq \frac{1}{2} \\ (\sqrt{x+1})^2=(2x-1)^2 \end{matrix}\right. $$ La terza equazione è quella utilizzata prima per la risoluzione. Le prime due disequazioni sono le condizioni iniziali che devono essere rispettate dalle soluzioni trovate. La soluzione \(x_1=0\) non rispetta la seconda condizione in quanto non maggiore di \(\frac{1}{2}\). La soluzione \(x_2=\frac{5}{4}\) rispetta entrambe le condizioni, dunque è valida.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione irrazionale \( \sqrt{2x}-1=-\sqrt{x+1} \)
In generale, quando abbiamo più di un radicale con lo stesso indice, è utile isolare sempre uno dei radicali e elevare a quell'indice varie volte finchè non rimane in piedi un solo radicale.
Isoliamo il primo radicale spostando \(-1\) a destra $$ \sqrt{2x}=1-\sqrt{x+1} $$ Eleviamo tutto al quadrato $$ (\sqrt{2x})^2=(1-\sqrt{x+1})^2 $$ Ricordiamo che al secondo membro abbiamo un quadrato di binomio $$ 2x=1-2\sqrt{x+1}+x+1 $$ Isoliamo l'unico radicale rimasto $$ 2\sqrt{x+1}=-2x+1+x+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 2\sqrt{x+1}=-x+2 $$ Eleviamo tutto al quadrato $$ 4(x+1)=(-x+2)^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 4x+4=x^2-4x+4 $$ $$ \downarrow $$ $$ x^2-8x=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x(x-8)=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x_1=0 $$ $$ x_2=8 $$ Verifichiamo le soluzioni. Sostituendo \(0\) all'equazione di partenza otteniamo $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ La soluzione è accettabile. Sostituendo \(8\) all'equazione di partenza otteniamo $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ La soluzione non è accettabile. In definitiva la soluzione dell'equazione irrazionale è $$ x=0 $$
Ovviamente esistono equazioni irrazionali con indice pari più complesse di queste mostrate. Ad esempio è possibile trovare radicali con indici diversi. In questo caso si procede come mostrato fino ad adesso, con l'unica differenza che bisogna elevare il tutto ad un indice che coincide con il minimo comune multiplo degli indici di tutti i radicali presenti. Se l'indice risulterà pari allora il procedimento è lo stesso.
La frase che cade a pennello per questo tipo di equazioni è: ti piace vincere facile? Ebbene si, questo tipo di equazioni sono abbastanza semplici da risolvere.
Da memorizzare!
Metodi per risolvere una equazione irrazionale con indice dispari
In questo caso esiste un unico metodo, anche abbastanza banale. L'indice dispari non crea problemi, non esistono condizioni di positività. L'argomento di un radice con indice dispari può essere anche negativo. Per risolvere queste equazioni è sufficiente elevare tutta l'equazione all'indice in questione. Ovviamente è buona norma, anche se non obbligatorio, verificare se la soluzione trovata è corretta, per risalire eventualmente ad errori algebrici.
Possiamo distingure tra equazioni irrazionali con indice pari e equazioni irrazionali con indice pari. Le prime sono quelle più "complesse" da trattare.
Equazioni irrazionali con indice pari
Supponiamo di avere la seguente uguaglianza $$ 2=-2 $$ Ovviamente si tratta di una uguaglianza falsa. Proviamo ad elevare tutto al quadrato $$ 2^2=(-2)^2\Rightarrow 4=4 $$ Adesso è magicamente diventata una uguaglianza vera. Con questo semplice esempio abbiamo imparato che, se elevando ad una potenza pari, una uguaglianza falsa può diventare vera.
In sostanza quando eleviamo ad una potenza pari, senza fare controlli sulla positività dei fattori, si possono introdurre soluzioni con concordi con l'equazione di partenza, soluzioni non valide. Ricordiamo che tra queste soluzioni sono presenti anche quelle esatte.
Da memorizzare!Metodi per risolvere una equazione irrazionale con indice pari
Esistono sostanzialmente due metodi per risolvere questo tipo di equazioni:
- Eleviamo all'indice delle radici tutta l'equazione. Controlliamo manualmente se le soluzioni trovate sono esatte, sostituendole nell'equazione di partenza;
- Poniamo delle condizioni iniziali di positività. Eleviamo all'indice delle radici tutta l'equazione, controllando se le soluzioni trovate sono in accordo con le condizioni iniziali.
Esempio 1Risolvere la seguente equazione irrazionale \( \sqrt{x+1}-2x=-1 \)
Isoliamo la radice portando il \(-2x\) a destra $$ \sqrt{x+1}=2x-1 $$ Utilizziamo il primo metodo. Eleviamo tutto al quadrato $$ (\sqrt{x+1})^2=(2x-1)^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ x+1=4x^2-4x+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 4x^2-5x=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x(4x-5)=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x_1=0 $$ $$ x_2=\frac{5}{4} $$ Bisogna adesso verificare se queste due soluzioni sono anche soluzione dell'equazione di partenza. Sostituiamo il valore \(0\) all'equazione $$ \sqrt{0+1}=2\cdot 0-1\Rightarrow 1=-1 $$ Soluzione non valida in quanto porta ad una uguaglianza falsa. Sostituiamo il valore \(\frac{5}{4}\) all'equazione $$ \sqrt{\frac{5}{4}+1}=2\cdot \frac{5}{4}-1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}-1 $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{3}{2}=\frac{3}{2} $$ La soluzione è valida in quanto porta ad una uguaglianza vera. Utilizziamo il secondo metodo per risolvere la stessa equazione. Quali sono le condizioni iniziali? Sicuramente l'argomento del radicale deve essere maggiore o uguale di zero, inoltre per verificare l'uguaglianza, a destra ci dovrà essere per forza una quantità maggiore o uguale di zero. Dunque $$ \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0 \Rightarrow x\geq -1\\ 2x-1\geq 0 \Rightarrow x\geq \frac{1}{2} \\ (\sqrt{x+1})^2=(2x-1)^2 \end{matrix}\right. $$ La terza equazione è quella utilizzata prima per la risoluzione. Le prime due disequazioni sono le condizioni iniziali che devono essere rispettate dalle soluzioni trovate. La soluzione \(x_1=0\) non rispetta la seconda condizione in quanto non maggiore di \(\frac{1}{2}\). La soluzione \(x_2=\frac{5}{4}\) rispetta entrambe le condizioni, dunque è valida.
Esempio 2Risolvere la seguente equazione irrazionale \( \sqrt{2x}-1=-\sqrt{x+1} \)
In generale, quando abbiamo più di un radicale con lo stesso indice, è utile isolare sempre uno dei radicali e elevare a quell'indice varie volte finchè non rimane in piedi un solo radicale.
Isoliamo il primo radicale spostando \(-1\) a destra $$ \sqrt{2x}=1-\sqrt{x+1} $$ Eleviamo tutto al quadrato $$ (\sqrt{2x})^2=(1-\sqrt{x+1})^2 $$ Ricordiamo che al secondo membro abbiamo un quadrato di binomio $$ 2x=1-2\sqrt{x+1}+x+1 $$ Isoliamo l'unico radicale rimasto $$ 2\sqrt{x+1}=-2x+1+x+1 $$ $$ \downarrow $$ $$ 2\sqrt{x+1}=-x+2 $$ Eleviamo tutto al quadrato $$ 4(x+1)=(-x+2)^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 4x+4=x^2-4x+4 $$ $$ \downarrow $$ $$ x^2-8x=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x(x-8)=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ x_1=0 $$ $$ x_2=8 $$ Verifichiamo le soluzioni. Sostituendo \(0\) all'equazione di partenza otteniamo $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ $$ \sqrt{0}-1=-\sqrt{0+1}\Rightarrow -1=-1 $$ La soluzione è accettabile. Sostituendo \(8\) all'equazione di partenza otteniamo $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ $$ \sqrt{16}-1=-\sqrt{8+1}\Rightarrow 3=-3 $$ La soluzione non è accettabile. In definitiva la soluzione dell'equazione irrazionale è $$ x=0 $$
Equazioni irrazionali con indice dispari
La frase che cade a pennello per questo tipo di equazioni è: ti piace vincere facile? Ebbene si, questo tipo di equazioni sono abbastanza semplici da risolvere.
Da memorizzare!Metodi per risolvere una equazione irrazionale con indice dispari
In questo caso esiste un unico metodo, anche abbastanza banale. L'indice dispari non crea problemi, non esistono condizioni di positività. L'argomento di un radice con indice dispari può essere anche negativo. Per risolvere queste equazioni è sufficiente elevare tutta l'equazione all'indice in questione. Ovviamente è buona norma, anche se non obbligatorio, verificare se la soluzione trovata è corretta, per risalire eventualmente ad errori algebrici.
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